Combinatoria e Iperstrutture

Componenti : Mario De Salvo, Giovanni Lo FaroAntoinette Tripodi.

Descrizione della ricerca

Teoria dei Disegni (Combinatoria)
“Squashing” di sistemi di cicli.  Nell’articolo “From squashed  6-cycles to Steiner triple systems” Lindner, Meszka e Rosa introducono il concetto di squash di un 6-ciclo in due triangoli e determinano lo spettro per i sistemi di 6-cicli con la proprietà che i loro cicli possono essere “squashed” in maniera tale da produrre sistemi di terne di Steiner. Il risultato precedente è stato esteso dando una risposta al problema dell’esistenza di maximum packing con 6-cicli (ovvero terne (X,C,L) dove C è una famiglia di 6-cicli con vertici in X e senza spigoli in comune  ed L, detto “leave”,  è l’insieme degli spigoli di Kn  non appartenenti ad alcun 6-ciclo di C, con L di cardinalità minima) che ammettono uno squashing in un maximum packing con terne (e cioè tali che la famiglia S(C) dei triangoli ottenuta dallo “squashing” dei 6-cicli, con l’aggiunta di una eventuale terna appartenente al “leave” L, costituisce la famiglia di terne di un maximum-packing di Kn con terne). I risultati della ricerca sono contenuti in un articolo pubblicato nel 2016.
Risolubilità. Quella della risolubilità di un disegno è una tematica che risale al famoso problema delle quindici scolare che fu formulato da Kirkman nel 1850 e che poneva, più in generale, il problema dell’esistenza di sistemi di terne di Steiner risolubili, detti in seguito Sistemi di Kirkman, i cui blocchi si possono ripartire in classi di parallelismo, ovvero in sottoinsiemi di blocchi a due a due disgiunti e tali che ogni vertice appare in uno ed un solo blocco di ogni sottoinsieme. Da allora il problema dell’esistenza di decomposizioni del grafo completo Kn i cui blocchi si possono ripartire in classi di parallelismo ha focalizzato l’attenzione di molti matematici; in particolare, il problema è stato studiato nel caso in cui i blocchi sono tutti isomorfi ad un fissato ciclo, path o un sottografo connesso del grafo completo K4. In questo contesto si collocano i risultati pubblicati in “Resolvable (K_4-e)-designs of order v and index ʎ”  (Gionfriddo, Lo Faro,  Milici e  Tripodi, 2016) in cui gli autori determinano le condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di  decomposizioni  risolubili di ʎKn  (per ogni ʎ>0) i cui blocchi sono copie del grafo K_4-e.
α-risolubilità. L’α-risolubilità è una naturale estensione del concetto di risolubilità: un disegno si dice α-risolubile  se è possibile ripartire i suoi blocchi in classi (dette classi α-parallele) tali che ogni vertice  del disegno  appare in esattamente α  blocchi di ciascuna classe (ovviamente, quando α=1 la definizione di α-risolubilità restituisce quella di risolubilità). In tale ambito, è stato affrontato lo studio dell’esistenza di (K_4-e)-disegni α-risolubili  determinandone le condizioni necessarie e sufficienti per ogni indice ʎ>0.
Uniforme risolubilità. Data una famiglia di grafi H, un H-disegno di ordine n è una decomposizione del grafo completo Kn in copie di grafi isomorfi a qualche grafo di H (blocchi). I concetti di classe parallela e di risolubiltà possono essere estese ad un H-disegno con ovvio significato dei termini. Un H-disegno risolubile è detto anche H-fattorizzazione del grafo completo e una sua classe è detta H-fattore. Nel caso in cui |H|>1, ai fattori di una H-fattorizzazione  si possono imporre ulteriori restrizioni; ad esempio, un fattore si dice uniforme se ogni blocco della classe è isomorfo a uno stesso grafo di H. Se i fattori di una H-fattorizzazione sono tutti uniformi allora la H-fattorizzazione si dice uniforme. In particolare, quando H={G1, G2} si pone il problema di studiare l’esistenza di H-fattorizzazioni uniformi con esattamente r G1-fattori ed esattamente s G2-fattori. In questo ambito si colloca lo studio delle H-fattorizzazioni del grafo completo nel caso in cui  H= {K2, S( Ch)}, studio che si è concretizzato nell’articolo “On the existence of uniformly resolvable decompositions of K_v into 1-factors and h-suns” pubblicato nel 2016.
 
0-Simple Semihypergroups (Iperstrutture)
Nell’ambito della teoria delle strutture multivoche, viene studiata la classe dei semiipergruppi fully 0-simple, ovvero dei semiipergruppi H tali che tutti i sottosemiipergruppi ⊆ H sono 0-simple e, quando |K| ≥ 3 la relazione fondamentale β_non è transitiva. In particolare si introduce la sottoclasse degli R0-semiipergruppi, che sono semiipergruppi fully 0-simple tali che{y}⊆ xy {o,y} for all x,y ∈ H-{0}.
Di tali semiipergruppi viene determinato il numero delle classi di isomorfismo nel caso finito di cardinalità (n+1), evidenziando che tale numero costituisce il termine di posto (n+1) nella seguenza A000070, dove p(k) denota il numero delle partizioni non-crescenti di k.
 
Web of Science Publications

  1. C.C. Lindner, G. Lo Faro, A. Tripodi: Squashing maximum packings of 6-cycles into maximum packings of triples, Ars Mathematica Contemporanea 10 (1) (2016), pp. 19-29
  2. M. Gionfriddo, G. Lo Faro, S. Milici, A. Tripodi: On the existence of uniformly resolvable decompositions of Kv into 1-factors and h-suns,  Utilitas Math. 99 (2016), pp. 331-339
  3. M. Gionfriddo, G. Lo Faro, S. Milici, A. Tripodi: The spectrum of α-resolvable ʎ-fold (K4-e)-designs, Ars Mathematica Contemporanea  10 (2) (2016), pp. 371-381
  4. M. Gionfriddo, G. Lo Faro, S. Milici, A. Tripodi: Resolvable (K4-e)-designs of order v and index ʎ, Utilitas Math. 101 (2016), pp. 119—127
  5. M. De Salvo, D. Fasino, D. Freni, G. Lo Faro: A family of 0-simple semihypergroups related to sequence A000070, Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing 27 (5-6) (2016), pp. 553- 572

 
Collaborations
D. Fasino (Università di Udine)
D. Freni (Università di Udine)
M. Gionfriddo (Università di Catania)
C.C. Lindner (Università di Auburn, USA)
S. Milici (Università di Catania
 

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