Algebre con identità funzionali e metodi combinatori

Componenti: Luisa Carini

Tematiche scientifiche

Algebre prime e semiprime con identità funzionali
Una identita' funzionale (FI) in un'Algebra puo' essere informalmente descritta come una identita' che involve elementi arbitrari dell'Algebra con funzioni (a priori sconosciute). Piu' precisamente, un polinomio funzionale e' costruito attraverso la composizione di elementi dell'Algebra con le valutazioni delle funzioni in essa definite. L'obiettivo della Teoria delle FI e' in generale quello di determinare la forma delle funzioni che compaiono nei polinomi funzionali considerati, ovvero determinare la struttura di un'Algebra soddisfacente opportune FI.

Le FI sono strettamente connesse ai problemi sulle mappe di Lie in anelli, per le quali I.N. Herstein nel 1961 formulo' un programma di studi nel caso di anelli associativi primi. Recentemente, una serie di autori (Beidar, Brešar, Mikhalev e Martindale III) hanno fornito soluzioni complete alle congetture di Herstein sugli Omomorfismi di Lie e le Derivazioni di Lie.

L'obiettivo della teoria delle FI e' in definitiva quello di ottenere risultati su mappe che preservino le proprieta' algebriche degli elementi. In letteratura le FI maggiormante studiate possono assumere denominazioni differenti, in dipendenza delle funzioni tramite le quali vengono costruite.

In particolare, se le funzioni sono polinomi, le FI coincidono con le identita' polinomiali (PI). Se le funzioni sono derivazioni, le FI vengono dette identita' differenziali (DI). Se le funzioni sono derivazioni generalizzate, le FI sono dette identita' differenziali generalizzate (GDI). Infine, se le funzioni sono mappe additive definite tramite derivazioni generalizzate ed automorfismi (meglio note come α-derivazioni generalizzate o derivazioni generalizzate sghembe o obblique), le FI sono dette identita' α-ddifferenziali generalizzate, note anche come “skew generalized differential identities” (SGDI).

La nostra attenzione e’ stata rivolta allo studio della forma di derivazioni generalizzate e/o derivazioni generalizzate sghembe soddisfacenti condizioni di tipo Engel e condizioni di nilpotenza. Abbiamo inoltre classificato in modo completo le diverse tipologie degli elementi annullatori di alcuni insiemi definiti tramite derivazioni generalizzate sghembe.

Si sono quindi ottenute sia una completa descrizione delle mappe coinvolte , che una descrizione della struttura delle Algebre soddisfacenti le identità funzionali introdotte.

Metodi combinatori per il calcolo dei pletismi delle funzioni di Schur
Tale attività di ricerca si svolge nell'ambito della Teoria delle funzioni simmetriche ed è rivolta allo studio dei pletismi di funzioni di Schur con particolare riferimento al pletismo del polinomio di Newton ( o somma di potenze) con una funzione di Schur. Un problema fondamentale in tale ambito è quello di determinare quale di questi pletismi sia privo di molteplicità, nel senso che gli unici coefficienti che intervengono nella loro decomposizione in somma di funzioni di Schur siano 0, 1, -1. Tali pletismi hanno importanti applicazioni nell'ambito della Teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico, della Teoria degli invarianti e della Fisica. La ricerca è tuttora in corso di svolgimento.

Pubblicazioni ISI

  1. Carini L., De Filippis V. , Scudo G., "Power-commuting generalized skew derivations in prime rings", Mediterranean Journal of Mathematics, vol.13 (1), 53-64, (2016).
  2. Carini L., De Filippis V. , Scudo G., "Identities with product of generalized skew derivations on multilinear polynomials", Communications in Algebra 44/7 (2016), 3122-3138.
  3. Carini L., De Filippis V., Wei F. "Generalized Skew Derivations Cocentralizing Multilinear Polynomials", Mediterranean Journal of Mathematics 13 (2016), 2397–2424.
  4. Carini L., De Filippis V. , Scudo G., "Some results concerning symmetric generalized skew biderivations on prime rings", Publicationes Mathematicae Debrecen 89/4 (2016), 449-467.
  5. De Filippis V., Scudo G., Subsets with Generalized Derivations Having Nilpotent Values on Lie Ideals, Communications in algebra 44/9 (2016), 4073-4087.
  6. Ali A., De Filippis V., Khan S., Power values of generalized derivations with annihilator conditions in prime rings, Communications in Algebra 44/7 (2016), 2887-2897.
  7. De Filippis V., Engel-type conditions involving two generalized skew derivations in prime rings, Communications in Algebra 44/7 (2016), 3139-3152.
  8. De Filippis V., Annihilating and power-commuting generalized skew derivations on Lie ideals in prime rings, Czechoslovak Mathematical Journal 66/2 (2016), 481-492.
  9. De Filippis V., Annihilators and power values of generalized skew derivations on Lie ideals, Canadian Mathematical Bulletin 59/2 (2016), 258-270.
  10. De Filippis V., Authomorphisms and generalized skew derivations which are strong commutativity preserving on polynomials in prime and semiprime rings, Czechoslovak Mathematical Journal 66/1 (2016), 271-292.

Pubblicazioni non ISI

  1. De Filippis V., Scudo G., Annihilating and Engel conditions on right ideals with generalized derivations, Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry 57 (2016), 155-172.
  2. De Filippis V., Generalized skew derivations and g-Lie derivations of prime rings, Algebra and its applications, Springer Proceedings in Math. and Statistics n.174 (2016), 45-57.

Collaborazioni

Vincenzo De Filippis: Dipartimento di Ingegneria, Unime
Vesselin Drensky: Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Bulgaria
Jeffrey Remmel: University of California, San Diego, USA
Mike Zabrocki: York University, Toronto, Canada
F. Wei: Beijing Insitute of Technology, Pechino, Cina
O.M Di Vincenzo: Università di Potenza
N. Argac, E. Albas, C. Demir: Ege University, Izmir, Turchia
B. Dhara: Belda College, Belda, India
R.K. Sharma: Indian Institute of Technology, India
S. Ali, A. Ali, N. Rehman, M. Ashraf: Aligarh Muslim University, India
M.N. Daif: Al-Azhar University, Egitto
S. Huang: Chuzhou University, Cina

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